Оцінка типу розподілу

Оцінка типу розподілу — аналітико-статистична процедура дослідження основних характеристик емпіричного розподілу (мір центральної тенденції, мір мінливості, асиметрії, ексцесу кривої та деяких інших показників). На практиці оцінку типу розподілу здійснюють з метою перевірки припущення про те, що аналізований розподіл відповідає теоретичному (підтвердження нуль-гіпотези про те, що розбіжність між характеристиками емпіричного і теоретичного розподілів близька до нуля). Питання такого роду нерідко розв'язується в ході стандартизації методики і розроблення шкали (див. Оцінки шкальні). Зазвичай як теоретичний розподіл під час порівняння з емпіричним використовується нормальний розподіл, і оцінка типу розподілу виступає в цьому разі у формі перевірки нормальності емпіричного розподілу. Щоб установити, чи підпорядковується емпіричний розподіл досліджуваної випадкової величини нормальному закону, необхідно зіставити відомі досліднику відомості про властивості цієї величини та умови її вивчення з властивостями функцій нормального розподілу (див. Нормальний розподіл). Спершу проводять якісне зіставлення, а потім — за допомогою спеціальних методів — кількісне. Основою якісного зіставлення слугує головна «фізична» умова появи нормального розподілу, а саме дія на досліджувану випадкову величину великої кількості переважно незалежних і приблизно однакових випадкових чинників. Якщо ця умова, на думку дослідника, виконується, можна очікувати, що досліджувана величина розподілена нормально. Кількісне зіставлення може містити низку етапів. Перший — порівняння окремих властивостей емпіричного розподілу з властивостями теоретичного нормального розподілу. Це стосується насамперед мір симетрії (мода, медіана і середнє арифметичне (див. Міри центральної тенденції)) та ексцесу. Асиметрія (As) кривої емпіричного розподілу визначається за формулою:

As = (θ − 3x̄C + 2x̄³) / Sx³,

де x̄ — середнє арифметичне, Sx — стандартне відхилення, θ — середнє кубічне (θ = (1/n)Σx³), C — середнє квадратичне (C = (1/n)Σx²). Ексцес кривої (Ex) визначається за формулою:

Ex = (Q − 4θx̄ + 6Cx̄² − 3x̄⁴) / Sx⁴ − 3,

де Q — середнє значення четвертого степеня (Q = (1/n)Σx⁴). Асиметрія та ексцес нормального розподілу дорівнюють нулю. Якщо хоча б один із цих двох показників перевірюваного емпіричного розподілу істотно відхиляється від цього значення, це означає аномальність оцінюваного розподілу. Перевірку статистичної значущості обчислюваного показника асиметрії можна провести на підставі загальної нерівності Чебишова:

|As| ≥ √(Sa / P),

де Sa — дисперсія емпіричної оцінки асиметрії: Sa = 6(n − 1) / ((n + 1)(n + 3)); P — рівень значущості, або ймовірність (P) помилки першого роду — хибного висновку про незначущість асиметрії за наявності значущої асиметрії (P = 0,05 або P = 0,01).

Аналогічно оцінюється значення ексцесу (Ex):

|Ex| ≥ √(Se / P),

де Se — емпірична дисперсія оцінки ексцесу:

Se = 24n(n − 2)(n − 3) / ((n + 1)²(n + 3)(n + 5)).

Другий етап перевірки емпіричного розподілу полягає в побудові теоретичної функції розподілу за емпіричним рядом у припущенні, що він підпорядковується нормальному закону. Саме це припущення й обґрунтовується під час якісного і кількісного (на першому етапі) зіставлення властивостей. Обчислення теоретичних значень імовірностей, що відповідають емпіричним частотам, у загальному випадку здійснюється за таблицями функцій розподілу. У припущенні нормального закону зазвичай користуються таблицями функцій f(z) або F(z). Обчислення ймовірностей за такої процедури проводиться так. Значення випадкової величини xᵢ перетворюється на значення стандартного показника (див. Стандартизація):

zᵢ = (xᵢ − x̄) / σ.

Потім за табл. 1 Додатка III для кожного zᵢ емпіричного ряду визначаються значення стандартної щільності f(z), які потім множаться на h/σ (h — ширина інтервалу) для переходу від стандартного до справжнього емпіричного масштабу функцій розподілу, або значення функції розподілу F(z):

Pᵢ(xᵢ < X < xᵢ₊₁) = (h/σ)·f(zᵢ), а Pᵢ(X < xᵢ) = F(zᵢ).

Зіставлення завершується порівнянням фактичних (отриманих у досліді) і теоретичних (обчислених) імовірностей. Якщо відмінності малі або відсутні, можна вважати, що досліджувана випадкова величина розподіляється нормально. Для перевірки нуль-гіпотези про нормальність розподілу можна скористатися критерієм χ² та іншими методами (універсальний критерій Колмогорова та ін.). Підтвердження нормального закону цього розподілу означатиме, що отримана емпірична крива не потребує нормалізації; розподіл можна розглядати як репрезентативний щодо генеральної сукупності і на його основі визначити репрезентативні оцінні норми. Якщо гіпотеза не підтвердилася, то або вибірка мала чи нерепрезентативна, або цей тест не дає нормального розподілу результатів.