Кореляція бісеріальна

Кореляція бісеріальна (лат. bis series — два ряди, дві серії) — метод кореляційного аналізу відношення змінних, одна з яких виміряна в дихотомічній шкалі найменувань, а інша — в інтервальній шкалі, шкалі відношень або порядковій шкалі. Назва методу пов'язана з тим, що порівнюються дві альтернативні серії об'єктів X, що мають умовні значення 0 або 1 за Y.

Найхарактерніше застосування коефіцієнтів бісеріальної кореляції в психологічній діагностиці — при аналізі дискримінативності завдань тесту, а також при визначенні критеріальної валідності шляхом корелювання значень тестових оцінок з незалежними характеристиками критерію, вираженими в дихотомічній шкалі (див. Шкали вимірювальні). Для опису зв'язку між переліченими видами змінних використовується точковий бісеріальний коефіцієнт кореляції Пірсона:

rpb = ((x̄1 − x̄0) / Sx) · √(n1 · n0 / (n(n − 1))),

де x̄1 — середнє за X об'єктів зі значенням одиниця за Y; x̄0 — середнє за X об'єктів зі значенням нуль за Y; Sx — стандартне відхилення всіх значень за X; n1 — кількість об'єктів з одиницею за Y; n0 — кількість об'єктів з нулем за Y, тобто n = n1 + n0. Рівняння для обчислення rpb являє собою алгебраїчне спрощення формули коефіцієнта rxy (див. Кореляційний аналіз) для випадку, коли Y — дихотомічна змінна. Можна навести низку інших еквівалентних виразів, зручних для практичного застосування:

rpb = ((x̄1 − x̄) / Sx) · √(n · n1 / (n0(n − 1))),

де x̄ — загальне середнє за X.

Значення rpb варіює від −1 до +1. У тому разі, коли змінні з одиницею за Y мають середнє за X, що дорівнює середньому змінних з нулем за Y, rpb перетворюється на нуль. Як приклад можна навести обчислення rpb при аналізі дискримінативності окремих пунктів особистісного опитувальника, тобто кореляції між типовою відповіддю на окремий пункт (ствердження — заперечення) і загальним результатом за тестом (табл. 23).

Таблиця 23. Обчислення точкового бісеріального коефіцієнта кореляції Пірсона

Примітка. 1 — збіг із «ключем»; 0 — розбіжність із «ключем».

Обчислення: n1 = 11; n0 = 7; x̄1 = 12,36; x̄0 = 10,00; Sx = 2,55; U = 0,3836;

rpb = ((12,36 − 10) / 2,55) · √(77 / 306) = 0,46.

Обчислене в такий спосіб значення rpb показує, що перевірюваний пункт опитувальника має середню діагностичну значущість і слабко корелює із загальним результатом тесту. Достовірність (α) зв'язку, розрахованого за допомогою коефіцієнта rpb, може визначатися за допомогою критерію χ² для кількості ступенів свободи df = 2.

Іншим поширеним методом розрахунку є визначення бісеріального коефіцієнта кореляції (rbis), який застосовується в тих випадках, коли є підстави вважати, що дихотомічний розподіл близький до нормального:

rbis = ((x̄1 − x̄0) / Sx) · (n1 · n0 / (U · n²)).

Елементи рівняння ідентичні використовуваним при обчисленні rpb, за винятком величини U — ординати нормованого нормального розподілу в точці, за якою лежить (n1/n) · 100 % площі під кривою (див. Нормальний розподіл). З даних табл. 23: n1/n = 11/18 = 0,61; ордината нормованого (одиничного) нормального розподілу (U), за якою лежить 61 % площі під кривою, дорівнює 0,3836.

На відміну від інших коефіцієнтів кореляції, rbis може набувати значень нижче −1 і вище +1. У разі потрапляння значення в ці області роблять висновок про некоректність припущення про нормальний закон розподілу X або про розподіл значень X у вибірці з ексцесом, значно нижчим за нормальний. Слід звернути увагу на ту обставину, що при розподілі змінних X з ексцесом, більшим за нормальний, межі rbis будуть відповідно меншими за межі −1 і +1, що призведе до переоцінки ступеня зв'язку. Це потребує ретельної перевірки властивостей розподілу при використанні бісеріального коефіцієнта кореляції. При обчисленні rpb і rbis оперують однаковими вихідними даними, однак ці коефіцієнти не тотожні. Коефіцієнт rpb суворіший при характеристиці ступеня зв'язку між X і Y (rbis > rpb).

Випадки, коли одна зі змінних подана в дихотомічній шкалі, а інша — в порядковій, потребують застосування коефіцієнта рангово-бісеріальної кореляції:

rrb = 2(Ȳ1 − Ȳ0) / n,

де Ȳ1 — середній ранг об'єктів, що мають 1 за X; Ȳ0 — середній ранг об'єктів з 0 за X. Приклад обчислень наведено в табл. 24.

Таблиця 24. Обчислення рангово-бісеріальної кореляції rrb при зіставленні результатів тесту в дівчаток (1) і хлопчиків (0)

Обчислення: Ȳ1 = 7,5; Ȳ0 = 4,2; n = 10;

rrb = 2(7,5 − 4,2) / 10 = 0,67.

Коефіцієнт rrb тісно пов'язаний з коефіцієнтом τ Кендалла. Особливо чітко цей зв'язок простежується при аналізі кореляційного зв'язку за допомогою близького до rrb коефіцієнта rpb у разі використання для його визначення поняття збігу та інверсії (див. Кореляція рангова):

r = (P − Q) / (n0 · n1),

де n0 — кількість об'єктів з нульовою дихотомією; n1 — кількість об'єктів з одиничною дихотомією; P — сума збігів; Q — сума інверсій. При оцінюванні значущості зв'язку можна використовувати критерій Стьюдента:

t = r √(n − 2) / √(1 − r²) = 0,67 · √(10 − 2) / √(1 − 0,67²) = 2,5.

При кількості ступенів свободи n′ = n − 2 = 8 tкр = 2,306 при α = 0,05; t > tкр, отже, при α < 0,05 виявлений зв'язок є статистично значущим.